С.П. Королёв
Основы проектирования
баллистических ракет дальнего действия
(курс лекций)

МВТУ ИМ. БАУМАНА 1949

Наш адрес: ruzhany@narod.ru

ЛЕКЦИЯ ЧЕТВЕРТАЯ

3. Вопросы прочности ракет дальнего действия. Расчетные случаи и схемы нагружения

По прочности ракет дальнего действия отсутствуют какие-либо методические материалы. Излагаемые ниже расчетные случаи и схемы нагружения, используемые при расчете на прочность ракет дальнего действия, являются первой попыткой систематизировать существующие в этой области отдельные расчеты, результаты статических испытаний и некоторые результаты обработки летных испытаний.

Необходимость достаточно достоверной методики для расчетной и экспериментальной проверки прочности конструкции ракет очевидна.

Вопросы веса неизменно связаны с вопросами прочности, а вес (и отсюда μ_к) для ракет дальнего действия, как мы уже убедились ранее, имеет исключительное значение.

Необычайно сложная и разнообразная картина действующих на ракету сил, сложная структура внешних возмущений и возможных случаев нагружения и т. п. в совокупности создают исключительные трудности при разработке хотя бы приближенной общей методики расчета.

В силу этого, а также из-за недостаточной изученности явлений, происходящих, например, при прохождении ракетой околозвуковой области, недостаточной изученности и отсутствия опытных данных по вибрациям эти и ряд аналогичных расчетных случаев в дальнейшем изложении подробно не разбираются.

Принятая схема расчетных случаев имеет в известной степени условный характер, приспособленный для решения практических задач.

В последнем разделе приводятся примеры прочностных расчетов элементов ракеты.

Рис. 21. Системы координат

Системы координат

1. Связанная система координат (х₁, у₁, z₁) с началом координат в центре тяжести ракеты. Ось x₁ направлена по продольной оси ракеты, ось у₁ в плоскости I—III, ось z₁ в плоскости II—IV.

2. Скоростная система координат (х, у, z) с началом координат в центре тяжести ракеты. Ось х направлена по вектору скорости, у — по нормали вверх и z — по бинормали (рис. 21).

В полете на ракету кроме силы тяжести G и тяги Р действуют силы, зависящие от характера движения в пространстве. К ним относятся (рис. 22): аэродинамические силы, обусловленные движением ракеты в воздушной среде; управляющие силы, обеспечивающие полет по заданной программе; инерционные силы, возникающие вследствие наличия ускоренного движения ракеты по криволинейной траектории.

Рис. 22. Силы, действующие на ракету в полете

В дальнейшем вес и силы инерции будем называть массовыми силами, а все остальные силы — поверхностными.

* * *

1. Тяга

Тяга двигателя на любой высоте равна

где С_и — истинная скорость истечения, F_a — площадь выходного сечения сопла, р_с — давление выходящего газа на срезе сопла, р_к — давление за кормой ракеты на высоте Н. Тяга Ри может быть выражена через начальную тягу Р₀ у Земли посредством элементарных преобразований:

p_к = p_а — У Земли.

Подставив значение ṁС_и из формулы (2)) в формулу (1)), получим для Р_и выражение

P = P₀—F_a(p_c—p_a)+F_a(p_c—p_к)+F_a(p_h—p_к) ,

т. е.

Величина F_a(p_h—p_к) есть не что иное, как величина, равная силе сопротивления подсоса и обратно ей направленная, т. е.

где F_к — площадь кормового среза корпуса.

* * *

3.1. Силы, действующие на ракету в полете

Исключив ее из формулы (3), находим тягу

* * *

2. Аэродинамические силы

Зависимость аэродинамической силы от параметров траектории и геометрии ракеты может быть выражена формулой

(5)

Обычно рассматриваются составляющие аэродинамической силы в скоростной системе координат:

а) составляющая по скорости (лобовое сопротивление)

б) составляющая по нормали (подъемная сила)

в) составляющая по бинормали (боковая сила)

Лобовое сопротивление

Величина лобового сопротивления зависит от скорости полета ракеты, ее формы и размеров, высоты полета и угла атаки (при малых значениях угла атаки влиянием его на сопротивление можно пренебречь).

Сопротивление ракеты состоит из сопротивления тела вращения (корпуса) Q_к и стабилизирующих поверхностей Q_ст:

Составляющими лобового сопротивления являются:

а) сопротивление трения (в общем случае неравномерно распределенное по всей поверхности ракеты), характеризуемое коэффициентом сопротивления трения (С_хтр); с достаточной точностью для практических целей можно принять сопротивление трения равномерно распределенным по всей поверхности;

б) волновое сопротивление (С_хв);

в) сопротивление подсоса (С_хп).

На активном участке коэффициент сопротивления подсоса будет равен

(10)

Общий коэффициент лобового сопротивления тогда будет равен

Подъемная сила

Рис. 23. Силы в случае полета по траектории с малой кривизной (α) и с большой кривизной (σ)

При заданной программе величина подъемной силы зависит от аэродинамической характеристики корпуса ракеты, скорости и высоты полета, а также от величины угла атаки. Приближенно величину программного угла атаки можно найти, составив уравнение проекций всех внешних сил, действующих на ракету, на нормаль к траектории:

(12)

где е — расстояние от центра давления до центра тяжести, l_г.р — расстояние от центра давления газовых рулей до центра тяжести ракеты.

Действительный угол атаки не будет равен программному вследствие наличия случайных и постоянно действующих возмущающих сил (ветровые нагрузки, эксцентриситет тяги) и колебаний оси ракеты около программного положения.

Несоответствие действительного угла атаки программному приводит к изменению величины подъемной силы и нормальной составляющей тяги. Вследствие этого нарушения равновесия сил происходит изменение кривизны траектории и возникает дополнительная центробежная сила, уравновешивающая систему (рис. 23).

Из-за вращения ракеты относительно центра тяжести возникают дополнительные углы атаки, имеющие местное значение. Кроме того, местные углы атаки возникают из-за несовершенств самой конструкции ракеты. К ним относятся: начальные углы атаки перьев стабилизатора (вследствие их перекоса) и углы атаки за счет деформации как стабилизатора, так и корпуса.

Ветровая нагрузка

К числу случайных нагрузок на ракету относится дополнительная аэродинамическая нагрузка, возникающая при полете в неспокойном воздухе. Составляющая скорости ветра u_x по направлению скорости ракеты и приводит к изменению лобового сопротивления

(13)

и имеет практическое значение лишь при скоростях ракеты, сравнимых со скоростью ветра. Нормальная составляющая скорости ветра приводит к изменению угла атаки ракеты на величину, равную приближенно

Это в свою очередь приводит к изменению величины подъемной силы или к возникновению боковой силы Z.

Считаем, что добавочная подъемная сила за счет порывов ветра направлена нормально к вектору скорости. По данным Института теоретической геофизики Академии наук СССР скорость ветра увеличивается с увеличением высоты. На больших высотах наблюдаются вихревые движения, охватывающие значительные пространства. На высоте более 100 км имеют место устойчивые потоки со скоростями до 200 м/сек.

Увеличение дополнительного угла атаки с высотой за счет увеличения скорости ветра не имеет большого практического значения из-за малой плотности воздуха на этих высотах.

При определении ветровых нагрузок рассматривается полет в зоне поперечного ветра, охватывающего весь корпус ракеты.

Однако возможны случаи резко ограниченных порывов ветра, действующих на часть ракеты. Например, при действии бокового порыва ветра на хвостовую часть ракеты вследствие косого обтекания возникает вращающий момент относительно продольной оси ракеты. Величину его, пренебрегая подъемной силой хвостовой части корпуса ракеты, можно приближенно определить из уравнения (рис. 24)

Здесь r_{I, II, III} — расстояния от оси ракеты до центра давления перьев I, II и III,

(16)

Рис. 24. Вращающий момент, действующий на хвостовую часть ракеты при порыве ветра

где (dC_y/dα) _ст — производная С_у по углу атаки горизонтального или вертикального оперения, φ — угол наклона вектора скорости u к плоскости стабилизатора, l_ср=F_ст/b_ср — средний размах пера стабилизатора, b_ср — средняя хорда пера стабилизатора, r₀ — радиус корпуса в сечении среднего размаха. После подстановки соотношений (16) в формулу (15) получим окончательно

(17)

и max М_ха будет при

Демпфирующая нагрузка

При вращении ракеты вокруг какой-либо оси, проходящей через ее центр тяжести, возникает демпфирующий момент, пропорциональный угловой скорости ω, за счет несимметричного изменения углов атаки сечений ракеты.

Величина приращения углов атаки зависит от расстояния этих сечений от оси вращения, т. е.

(18)

где ω_z, ω_у, ω_х — угловые скорости ракеты относительно осей z, у, х. Это местное изменение углов атаки не имеет большого практического значения лишь для корпуса ракеты. При наличии же стабилизирующих плоскостей оно приводит к возникновению несимметричного загружения перьев стабилизатора. Так, например:

1. При вращении относительно одной из поперечных осей, например z, дополнительная демпфирующая нагрузка может либо суммироваться, либо вычитаться из уравновешивающей нагрузки (рис. 25) в зависимости от направления вращения.

Приближенно

(19)

где l_ст — расстояние от центра тяжести ракеты до центра давления пера стабилизатора.

2. В случае вращения относительно продольной оси ракеты со скоростью ωх демпфирующая нагрузка Y_д, направленная в сторону, противоположную ω_х, будет алгебраически складываться с уравновешивающими нагрузками Z, приложенными к перьям стабилизатора (рис. 26).

Приближенно

(20)

где ω х r_ср=α_ср — дополнительный средний угол атаки от вращения со скоростью ω_x.

* * *

3. Управляющие силы

Устойчивый полет ракеты по заданной программе обеспечивается системой газовых и воздушных рулей.

Газовые рули

Составляющие аэродинамической нагрузки на газовые рули в связанной системе координат

Здесь

(21)

Рис. 25. Действие демпфирующей нагрузки на стабилизатор при вращении ракеты вокруг поперечной оси

Рис. 26. Действие демпфирующей нагрузки на стабилизатор при вращении ракеты вокруг продольной оси

где С_х0г.р — коэффициент сопротивления руля при нулевом угле отклонения, С_хδгр — коэффициент сопротивления газового руля, зависящий от угла его отклонения, q_r — скоростной напор газовой струи за срезом сопла, S_г.р — площадь газового руля — являются переменными величинами на всем участке работы двигателя вследствие изменения площади руля из-за его обгорания и углов поворота рулей.

Воздушные рули

Нагрузки на воздушные рули определяются в скоростной системе координат.

Величина их зависит от скоростного напора, от угла отклонения и площади руля:

(22)

где S_в.р — площадь воздушного руля, C_{x в.р} — коэффициент сопротивления воздушного руля, зависящий, в частности, от угла отклонения его.

* * *

4. Вес ракеты

Полетный вес ракеты есть функция секундного расхода ̇G и времени работы двигателя:

(23)

В общем случае секундный расход является также функцией времени.

Составляющие веса в скоростной системе координат обозначим:

(24)

* * *

5. Инерционные нагрузки

Инерционные силы, возникающие вследствие наличия ускорения центра тяжести, одинаково действуют на всю массу ракеты и определяются обычно в скоростной системе координат. Составляющая инерционной нагрузки, направленная по касательной к траектории, определяется, как известно, формулой

(25)

а по нормали

(26)

Инерционные нагрузки, зависящие от движения ракеты относительно ее центра тяжести, находятся в связанной системе координат и зависят как от расстояния массы от оси вращения, так и от угловых ускорений, т. е. носят местный характер:

(27)

где dm — элементарная масса ракеты, х — расстояние от центра тяжести ракеты до центра масс dm.

* * *

6. Уравнения движения

Величины рассмотренных выше поверхностных и массовых сил должны при совместном рассмотрении удовлетворять условиям равновесия системы.

Для нахождения уравнений движения возьмем сумму проекций всех сил на скоростные координатные оси (рис. 27).

Рис. 27. К выводу уравнений движения ракеты в скоростной системе координат

Проекция сил на касательную к траектории

(28)

на нормаль

(29)

на бинормаль

(30)

где

β — угол рыскания, γ — угол наклона касательной к траектории к плоскости начального горизонта.

Сумма всех моментов относительно связанных осей координат:

(31)

где М_ха — момент относительно оси х от аэродинамических сил, М_хг.р — момент управляющих сил, М_х.д — демпфирующий момент, M_xj — инерционный момент.

* * *

7. Коэффициенты перегрузок

Величину всех массовых сил, действующих на ракету, характеризуем их отношением к весу ракеты в рассматриваемый момент времени. Это отношение называется коэффициентом перегрузки.

Из уравнений равновесия сил легко установить, что сумма всех массовых сил равна сумме поверхностных нагрузок. Следовательно, коэффициент перегрузки можно определить через отношение всех поверхностных сил к полетному весу ракеты.

Рассмотрим составляющие перегрузки в скоростной системе координат.

Тангенциальная инерционная нагрузка F_x, складываясь с тангенциальной составляющей веса G sin γ дает перегрузку, равную

(32)

Для практических расчетов удобнее выражать коэффициент тангенциальной перегрузки через поверхностные силы:

(32')

для малых углов атаки можно принять cos α≈1. Так как центробежная инерционная сила, зависящая от характера действительной траектории (̇γ и v), разгружает ракету от нормальной составляющей веса, то коэффициент нормальной перегрузки будет равен

(33)

или

(33')

Аналогично коэффициент боковой перегрузки

(34)

В связанной системе координат перегрузку в направлении продольной оси называем осевой перегрузкой:

(35)

При достаточно малых значениях n_y и α по сравнению с n_х их произведением можно пренебречь, т. е. считать, что

(35')

Составляющую перегрузки в направлении оси y назовем поперечной перегрузкой. Величина ее может значительно отличаться от величины нормальной перегрузки (при больших значениях осевой перегрузки):

(36)

Местный коэффициент поперечной перегрузки с учетом вращения ракеты относительно оси z определяется как сумма

(37)

При свободном полете ракеты, т. е. при отсутствии тяги, коэффициент тангенциальной перегрузки будет равен

Если при этом отсутствуют какие-либо возмущающие силы, то нормальная перегрузка будет равна

(39)

а при их наличии она находится как отношение подъемной силы к весу ракеты

(39')

где G_к — конечный вес ракеты, α — угол атаки от возмущающих сил.